自然对数底数 e | guanghechen

前言
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$e$ 是一个很神奇的常数，长期以来我只知道它是一个很重要的对数底数。以它为底的对数被称为自然对数，它有一个很重要的性质：对数函数 $\log_{a} (x)$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln a}$ ，幂函数 $y = a^{x}$ 的导数为 $a^{x} \ln a$ 。^[1] 也就是说所有对数函数和幂函数的导数都与 $e$ 有关。

为了理解它为什么被称为自然对数，翻阅了一些网上的资料，发现不少都拿银行的复利来举例；此外 $e$ 还与对数螺旋线有关。如果你只是对 $e$ 为什么被称为自然对数感兴趣，推荐直接阅读下面两篇文章，本文更多的是记录一些和 $e$ 相关的数学式子和证明：

$e$ 的由来
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$e$ 有两种表示法：

$e = lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ .
这种表示方式正是 $e$ 的定义^[2]
$e = \sum_{i = 0}^{+ \infty} \frac{1}{i!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots$ .
这是 $e^{x}$ 的麦克劳林级数在 $x = 1$ 时的值。^[3]

$e$ 的第一种表示方法与复利率模型有关。在介绍复利率之前，我们先看一下指数增长模型。

指数增长模型

假设某种细菌每天分裂一次，那么 $x$ 天后，一个细菌将会繁殖总数为（假设这些天里没有细菌死亡） $2^{x}$ 的菌落。这是一个经典的指数增长模型，无论初始时有多少细菌，在 $x$ 天后的总数量是初始时的 $2^{x}$ 倍，它的数学表达为：

Q = 2^{x} = (1 + 1)^{x} = (1 + 100 %)^{x}

上式中隐含的是增长率为 $100 %$ 时， $x$ 天后的总数量是初始时的 $Q$ 倍。更宽泛地，记增长率为 $r$ ，则有：

Q = (1 + r)^{x}

表示在一个增长周期内的增长率为 $r$ （增加了 $r$ 倍），则在增长了 $x$ 个周期后，总数量将为初始时的 $Q$ 倍。

复利率法是一种计算利息的方法，按照指的是某段时间后利息也能产生利息。它和上文提到的细菌分裂有些类似，只不过复利率可以是小数：

复利率模型

现在在一家年利率为 $100 %$ 的银行存入了一元钱，银行每季度支付一次利息，这样一年可取四次利息，总计能获得一元的利息，手上的钱变成了两元。聪明的你在每次获得利息后转手又存入银行，则一年后手上的钱变为：

Q = {(1 + \frac{100 %}{4})}^{4} = 2.4414

虽然年利率没有改变，但因为结算的周期变短了，使得最后拿到手的钱变多了。贪心的你开始思考如果银行交付的周期变成无限小，那拿到手的钱会不会变成无穷多呢？不妨记银行一年支付利息 $x$ 次，则每次的利率为 $\frac{100 %}{x}$ ，当 $x$ 趋于无穷时，结合 $e$ 的第一种表示法可知，一年后到手的钱为：

Q = lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{100 %}{x})}^{x} = e

$e$ 是一个无理数
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可以用反证法来证明。若 $e$ 是一个有理数，不妨记它为 $e = \frac{a}{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 都是正整数。我们可以取一个正整数 $n$ ，并在等式两次同乘以 $b \cdot n!$ ：

e \cdot b \cdot n! = \frac{a}{b} \cdot b \cdot n! = a \cdot n!

显然，等式右侧是一个正整数。现在观察等式的左侧，根据前文 $e$ 的第二个表式法

e = \sum_{i = 0}^{+ \infty} \frac{1}{i!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots

有：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} b \cdot n! \cdot e & = b \cdot n! \cdot (\sum_{i = 0}^{+ \infty} \frac{1}{i!}) \\ = b \cdot n! \cdot (1 + \frac{1}{1!} + \dots + \frac{1}{n!}) \\ + b \cdot (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{(n + 1) \cdot (n + 2)} + \dots) \end{aligned} \end{matrix}

等式右侧的第一项显然是个整数，现在继续观察第二项，令

\begin{aligned} 0 < ϵ & = b \cdot (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{(n + 1) \cdot (n + 2)} + \frac{1}{(n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 3)} + \dots) \\ < b \cdot (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{(n + 1)^{2}} + \frac{1}{(n + 1)^{3}} + \dots) \\ = b \cdot (\frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{n + 1})}^{+ \infty}}{1 - \frac{1}{n + 1}}) \\ = b \cdot (\frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{n + 1}}) = b \cdot \frac{1}{n} \end{aligned}

则当 $n$ 取一个大于 $b$ 的整数时，有： $0 < ϵ < 1$ ，即第二项不为整数，即式 $(2)$ 不成立，故原假设矛盾， $e$ 不可能为有理数，所以 $e$ 是一个无理数。

欧拉方程
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谈到自然对数 $e$ ，就不得不提起大名鼎鼎的欧拉方程^[4]了：

e^{i x} = \cos x + \sin x

特别地，当取 $x = π$ 时，有：

e^{i π} + 1 = 0

初次见到它还是在大一时的一门选修课上，由于它实在是太优美了，以至于自初见起便一直念念不忘。它包含了数学上最奇妙的几个常数：

$e$ : 自然对数的底数
$i$ : 复数的单位，凭借一己之力表达了整个复数域（以实数作为系数）
$π$ : 圆周率（ $π$ 是我学到的第一个无理数）
$0$ : 零是数学上极为重要的数字，它拥有许多性质：
- $0$ 是唯一可以作为无穷小量的常数
- $0$ 是唯一既非正也非负的实数， $0$ 的相反数和绝对值都是其本身
- $0$ 是唯一找不到复数 $w$ 使得 $e^{w} = z$ 的复数 $z$
- $0$ 在概率上代表不可能事件
- $0$ 是多个重要数列的项，如佩尔数、斐波那契数、高斯整数等
- $0$ 是加减法运算的零元：任何数字和零做加减法运算都得到它本身
- $0$ 乘任何数都得到 $0$
- $0$ 是任何数的倍数， $0$ 除任何数都得到 $0$
- $0$ 不能作为除数，也不能作为对数的底，它没有倒数
- ...
$1$ : 一也是一个重要的数字，它同样拥有很多性质：
- $1$ 是第一个幸运数
- $1$ 是第一个快乐数
- $1$ 在概率上代表必然事件
- $1$ 是乘除法运算的零元：任何数字和一做乘除法运算都得到它本身
- $1$ 是唯一不能作为对数的底的正数
- ...

几个重要的极限和无穷量
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$lim_{x \to 0} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$
$lim_{x \to 0} \ln (1 + x) = lim_{x \to 0} x$ （墨卡托级数）
$lim_{x \to 0} (a^{x} - 1) = lim_{x \to 0} x \ln a$
节选自湖南大学《大学数学1》第三版 $P_{70}$
令 $y = a^{x} - 1$ ，则 $x \to 0$ 时， $y \to 0$ ，且 $x = \log_{a} (1 + y) = \frac{\ln (1 + y)}{\ln a}$ ，故：
$lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x \ln a} = lim_{y \to 0} \frac{y}{\ln (1 + y)} = lim_{y \to 0} \frac{1}{\ln (1 + y)^{\frac{1}{y}}} = \frac{1}{\ln e} = 1$
即
$lim_{x \to 0} (a^{x} - 1) = lim_{x \to 0} x \ln a$
【证毕】

自然对数底数 $e$

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$e$ 的由来
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欧拉方程
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